حل تمرین صفحه 150 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 1 سلام به شما دانش‌آموزان عزیز! بیایید این مسئله را مرحله به مرحله حل کنیم: **الف) تعیین فضای نمونه‌ای ($S$):** اعداد طبیعی و زوج کوچکتر از ۱۱ عبارتند از: ۲، ۴، ۶، ۸ و ۱۰. پس فضای نمونه‌ای ما به این صورت است: $$S = \{2, 4, 6, 8, 10\}$$ تعداد اعضای فضای نمونه‌ای برابر است با: $n(S) = 5$. **ب) تعداد پیشامدهای قابل تعریف:** هر زیرمجموعه از فضای نمونه‌ای یک پیشامد محسوب می‌شود. طبق فرمول تعداد زیرمجموعه‌ها ($$2^n$$)، چون فضای ما ۵ عضو دارد، داریم: تعداد پیشامدها = $$2^5 = 32$$ **پ) پیشامد A (بخش‌پذیر بر ۴):** از میان اعضای فضای نمونه‌ای ($$S$$)، اعدادی را انتخاب می‌کنیم که بر ۴ بخش‌پذیر باشند. این اعداد عبارتند از ۴ و ۸. پس: $$A = \{4, 8\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 2 در این تمرین، ما از **نمودار ون** برای نمایش منطق مجموعه‌ها استفاده می‌کنیم. فرض کنید سه دایره متداخل A و B و C داریم. **الف) رخ دادن A و C و عدم وقوع B:** این یعنی اشتراک A و C منهای مجموعه B. در زبان ریاضی به صورت $$(A \cap C) - B$$ نوشته می‌شود. در نمودار ون، باید بخشی را هاشور بزنید که داخل هر دو دایره A و C است اما آن تکه که وارد دایره B شده است را خالی بگذارید. **ب) فقط رخ دادن B:** این یعنی رخ دادن پیشامد B و عدم وقوع همزمان A و C. فرم ریاضی آن $$B - (A \cup C)$$ است. باید آن قسمتی از دایره B را هاشور بزنید که با هیچ‌کدام از دایره‌های A و C مشترک نیست. **پ) رخ دادن B و عدم وقوع C:** این یعنی تمام مجموعه B منهای بخش‌هایی که با C مشترک است. فرم ریاضی آن $$B - C$$ است. فارغ از اینکه در A باشد یا نه، هر چه در B هست و در C نیست را هاشور می‌زنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 3 **الف) فضای نمونه‌ای ($S$) و پیشامد زوج بودن (A):** چون ارقام ۱ تا ۸ را داریم: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$$ اعداد زوج در این بازه عبارتند از: ۲، ۴، ۶ و ۸. پس: $$A = \{2, 4, 6, 8\}$$ **ب) پیشامد اول بودن (B):** اعداد اول اعدادی هستند که فقط بر ۱ و خودشان بخش‌پذیرند (عدد ۱ اول نیست). در فضای نمونه‌ای ما: $$B = \{2, 3, 5, 7\}$$ **پ) پیشامد بزرگ‌تر از ۲ بودن (C):** تمام اعضای بزرگ‌تر از ۲ را لیست می‌کنیم: $$C = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 4 برای خانواده ۳ فرزندی، اگر دختر را با (د) و پسر را با (پ) نشان دهیم، فضای نمونه‌ای دارای $$2 \times 2 \times 2 = 8$$ حالت است. **۱. فضای نمونه‌ای ($S$):** $$S = \{(د,د,د), (د,د,پ), (د,پ,د), (پ,د,د), (د,پ,پ), (پ,د,پ), (پ,پ,د), (پ,پ,پ)\}$$ **۲. پیشامد حداقل یک دختر:** «حداقل یک دختر» یعنی تمام حالات به جز حالتی که همه فرزندان پسر باشند (پ،پ،پ). بنابراین این پیشامد شامل ۷ مورد است: $$\{(د,د,د), (د,د,پ), (د,پ,د), (پ,د,د), (د,پ,پ), (پ,د,پ), (پ,پ,د)\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 5 این یک آزمایش تصادفی ترکیبی است. **الف) فضای نمونه‌ای ($S$):** * شاخه اول (پشت): با اعداد ۱ تا ۶ تاس جفت می‌شود: $$(پ,1), (پ,2), (پ,3), (پ,4), (پ,5), (پ,6)$$ * شاخه دوم (رو): با ۴ حالت پرتاب دو سکه دیگر جفت می‌شود: $$(ر,ر,ر), (ر,ر,پ), (ر,پ,ر), (ر,پ,پ)$$ تعداد کل اعضا: $6 + 4 = 10$ حالت. **ب) پیشامد تاس زوج بیاید:** فقط از شاخه «پشت» که تاس دارد، اعداد ۲، ۴ و ۶ را جدا می‌کنیم: $$\{(پ,2), (پ,4), (پ,6)\}$$ **پ) پیشامد حداقل ۲ سکه رو بیاید:** در شاخه اول اصلاً ۲ سکه نداریم. در شاخه دوم (که با رو شروع شده بود)، باید حداقل یک «رو» دیگر در دو سکه بعدی باشد: $$\{(ر,ر,ر), (ر,ر,پ), (ر,پ,ر)\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 6 در انتخاب تیم، ترتیب مهم نیست، پس از **ترکیب** استفاده می‌کنیم. کل دانش‌آموزان ۵ نفر هستند. تعداد کل حالات انتخاب ۲ از ۵ برابر است با: $$n(S) = \binom{5}{2} = 10$$. **الف) هر دو ریاضی:** باید ۲ نفر را از ۳ دانش‌آموز ریاضی انتخاب کنیم: $$n(A) = \binom{3}{2} = 3 \Rightarrow P(A) = \frac{3}{10} = 0.3$$ **ب) هر دو هم‌رشته:** یا هر دو ریاضی باشند یا هر دو تجربی: $$n(B) = \binom{3}{2} + \binom{2}{2} = 3 + 1 = 4 \Rightarrow P(B) = \frac{4}{10} = 0.4$$ **پ) یک نفر ریاضی و یک نفر تجربی:** $$n(C) = \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 3 \times 2 = 6 \Rightarrow P(C) = \frac{6}{10} = 0.6$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 7 این مسئله با استفاده از **فرمول احتمال اجتماع دو پیشامد** حل می‌شود. «حداقل یکی» معادل با اجتماع ($$A \cup B$$) است. داده‌ها: * $$P(A) = 0.34$$ * $$P(B) = 0.62$$ * $$P(A \cap B) = 0.15$$ (هر دو کارت) فرمول: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.34 + 0.62 - 0.15 = 0.96 - 0.15 = 0.81$$ بنابراین احتمال اینکه مشتری حداقل یک کارت داشته باشد، **۸۱ درصد** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 8 تعداد کل حالات چیدمان ۷ نفر در یک ردیف برابر است با $$7!$$. **الف) دو برادر کنار هم نباشند:** بهتر است از **پیشامد متمم** استفاده کنیم. ابتدا حالتی را حساب می‌کنیم که دو برادر کنار هم باشند. آنها را یک بسته فرض می‌کنیم، پس ۶ شیء داریم که به $$6!$$ حالت جابجا می‌شوند و خود برادرها هم $$2!$$ جابجایی دارند: احتمال کنار هم بودن = $$\frac{6! \times 2!}{7!} = \frac{2}{7}$$ احتمال کنار هم **نبودن** = $$1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$$. **ب) یکی در ابتدا و دیگری در انتها:** دو جایگاه ابتدا و انتها متعلق به برادرهاست ($$2!$$ حالت جابجایی بین خودشان). ۵ نفر دیگر در وسط به $$5!$$ حالت قرار می‌گیرند: $$P = \frac{5! \times 2!}{7!} = \frac{5! \times 2}{7 \times 6 \times 5!} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 150 - تمرین 9 برای اثبات این حکم، مجموعه B را به دو بخش ناسازگار تقسیم می‌کنیم: ۱. بخشی که داخل A است ($$A$$). ۲. بخشی که در B هست ولی در A نیست ($$B - A$$). بنابراین می‌توانیم بنویسیم: $$B = A \cup (B - A)$$. چون این دو مجموعه اشتراکی ندارند (ناسازگارند)، طبق اصل جمع احتمالات داریم: $$P(B) = P(A) + P(B - A)$$ از آنجایی که احتمال هر پیشامدی همیشه بزرگ‌تر یا مساوی صفر است ($$P(B - A) \geq 0$$)، پس نتیجه می‌گیریم که $$P(B)$$ برابر است با $$P(A)$$ به اضافه یک مقدار نامنفی. پس حتماً: $$P(B) \geq P(A)$$ یا به عبارتی دیگر $$P(A) \leq P(B)$$. حکم ثابت شد.